2017下半年上海教师资格证《数学学科知识与教学能力（高中》试题答案解析

　　四、论述题(1)

　　15、

　　……数学的产生与发展…… 问题： (1)在数学教学中如何渗透数学文化(6分);(2)数学文化对学生数学学习的作用(9分)

　　正确答案:(1)①数学史知识的渗透 学生在学习高中数学导数知识的时候，由于是一个全新的概念，不同于在小学就有所接触的方程等知识。因此，学生对于导数的历史比较感兴趣，教师可以利用这一点，对学生进行数学史知识的渗透，告诉学生导数的由来、发展和在实际生活、工作中的作用。这样就可以调动学生积极性，撇去导数的枯燥乏味，使之变为活泛、有趣。 ②数学思想方法的渗透 a.极限思想。在导数部分主要体现在函数的连续性，导数的计算，以及定积分内容上。 b.数形结合思想。数形结合在导数以及应用部分的主要表现是对函数图像的分析与求解。函数对象是导数的主要研究对象之一。要求证函数的解析式就必须进行数形结合。 ③数学思维方式的渗透 在“导数”部分主要的数学思维方式有两种：观察法和归纳法。 比如观察法在人教版A版中，导数及其应用部分主要培养了学生的观察能力。教材利用三个不同维度的观察使得学生在导数的概念、导数的运算、导数的应用之间关系的思考。 归纳法是从特殊到一般再到特殊的过程，在人教版教材中主要体现在当?x趋于0的计算。 (2)①有利于激发学生的学习兴趣 数学文化给学生带来的不仅仅是数学命题、数学方法、数学问题和数学语言等，还包括数学思想、数学意识、数学精神等。在教学中可以适当的对学生进行数学文化的教育，如通过数学家的故事，数学问题的发现等内容的介绍来激发学生的学习兴趣。 ②有利于培养学生的创新意识和探索精神 新一轮数学改革的理念中，强调培养学生的创新意识和探索精神。培养学生的数学思维能力，也是当代数学教育改革的核心问题之一。在数学文化中数学历史事件、历史过程、历史故事都能够激发起学生的创新意识，培养学生的探索精神。 ③有利于发展学生的数学应用意识 数学文化的意义不仅在于知识本身和它的内涵，还在于它的应用价值数学源于生活，其理论的核心部分都是在人类社会的生产、生活实践之中发展起来的。因此，教学中我们应当有意识地结合学生已有的知识结构，加强数学与实际生活的联系。增强数学的应用性，将数学知识生活化，让学生体验到数学文化的价值就在于生活的各个领域中都要用到数学。

　　五、案例分析题(1)

　　16、

　　……下列是两位教师“复数概念”引入的教学片段…… 问题： (1)分析两位教师教学引入片段的特点(12分); (2)……简述三角表示法的意义(8分)

　　正确答案:(1)甲教师引入的设计思路是温故知新，带着学生回忆初中在已知数系中遇到解决不了的问题时，处理方法是引入新数来扩充数集。类比得出高中遇到实数范围内解决不了的问题，也应该想到引入新数的方法来扩充数集，并解决问题，进而引入新课。这样做能够让学生通过复习旧知来获得解决问题的方法，对学生解决问题的能力有一定的提高，但该教师的设计方案有些缺乏趣味性。 教师乙，采用数学史导入新课。这种导入既丰富了教材中的素材，又丰富了教学内容，同时激发了学生兴趣，调动了学生学习复数的积极性，引发了学生的数学思考。能使学生认识数学、理解数学最终学好数学，体会到数学来源于生活，并应用于生活。有利于激活学生的思维，使学习变成一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。 (2)复数三角表示法为这样表示的意义如下：复数的三角表示法是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的。 根据已经学习过的复数的另两种表示法：①代数表示法，即 ②几何表示法，复数Z既可以用复平面上的点 表示，也可以用复平面上的向量 来表示。那么如果用复数Z在复平面上的向量 的模和辐角来表示，设其模为r，辐角为 ，则得到三角表示法： 既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化，转化关系如下： 可得 复数三角形式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连。否则不是三角形式，三角形式中 应是复数Z的一个辐角，不一定是辐角主值。

　　六、教学设计题(1)

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　　……教师设计高中数学”分层抽样“的教学目标为： 问题： (1)……设计一个实例，总结分层抽样的步骤，并说明设计意图(21分); (2)……简要说明简单随机抽样、系统抽样以及分层抽样各自特点及适用范围(9分)

　　正确答案:(1)实例：假设有地区高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人。此地区教育部为了了解本地区中小学生的近视情况及其形成原因，要从本地区的中小学生中抽取1%的学生进行调查。你认为应当怎样抽取样本? 分层抽样的实施步骤如下： ①根据已经掌握的信息，将总体分成互不相交的层; ②根据总体中的个数N和样本容量n计算抽样比; ③确定第i层应该抽取的个体数目 ; ④在各个层中，按步骤③中确定的数目在各层中随机抽取个体，合在一起得到容量为n的样本。 设计意图：通过对实例的探究，引导学生体会：①不同的年龄阶段，影响近视的因素是不一样的，利用简单的随机抽样不具有代表性。所以调查者应利用事先掌握好的各种信息对总体进行分层，这可以保证每一层一定有个体被抽到，从而使样本更具有代表性。②对小学、初中、高中抽样个数的探究，体会含有个体多的层，在样本中的代表也应该多，即样本从该层中取的个体数也应该多。这样的样本才更具有代表性。 在整个的探究过程中，根据简单随机抽样和系统抽样的基础，提升学生对分层抽样的理解。感受分层抽样的必要性以及它的特点。 通过实例以及问题的引导，提高学生对分层抽样步骤的理解。提升对分层抽样适用范围的理解。 (2)①简单随机抽样： 优点：操作简单易行。 缺点：适合总体个数较少，当总体个数较多时，不快捷。“搅拌均匀”也比较困难，容易导致样本的代表性差。 适用范围：总体的个数不多时。 ②系统抽样： 优点：简单易行;当对总体结构有了一定的了解时，充分利用已有信息对总体中的个体进行排队后再抽样，可提高抽样效率;当总体中的个体存在一种自然编号(如生产线上产品的质量监控)时，便于试行系统抽样法。 缺点：在不了解样本总体的情况下，所抽出的样本可能有一定的偏差。 适用范围：总体个数较多时。 ③分层抽样： 优点：根据总体几个部分的明显差异，按照比例进行抽取样本，样本的代表性高。 缺点：总体的几个部分差异不明显时，不适合使用分层抽样。分层抽样需要和简单随机抽样或系统抽样方法结合使用。 适用范围：总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法。